Курсовая. Решение дифференциального уравнения 2 порядка с помощью функции Грина

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ    2
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ    4
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения    5
1.2. Классификация уравнений второго порядка    7
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА    16
2.1. Метод функций Грина    16
2.2. Примеры решения неоднородных дифференциальных уравнений с помощью функции Грина    18
2.3. Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью функции Грина    27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ    33


ВВЕДЕНИЕ

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.
При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и её производные  :
                                                  (1.1)
Порядок  старшей  производной  уравнения  (1.1)  называется  порядком  уравнения.. Решением  уравнения   (1.1)   называется   функция   ,  обращающая уравнение в тождество. Процесс нахождения решения называется  интегрированием  дифференциального уравнения. График решения на плоскости  (x,y)  называется  интегральной кривой.  
Например, функция     удовлетворяет  уравнению   и поэтому является  его решением ,  однако  это решение не единственно, т.к.  семейство  функций      ,  где c – произвольная  константа, также решение уравнения. Говорят, что функция (семейство функций)    является общим решением. Общее решение может быть найдено в явном, параметрическом или неявном виде, в любом случае оно должно зависеть от  n  констант    Если общее решение получено в неявном виде, то его часто называют общим интегралом уравнения.
Всякое решение, получающееся из общего при некоторых конкретных значениях констант, называется частным решением. Так, в рассмотренном примере решение       является частным, оно получается из общего при   Задачу нахождения частного решения в общей постановке можно сформулировать следующим образом:
найти частное решение уравнения (1.1) , удовлетворяющее условиям:                                (1.2)
Геометрически это означает, что интегральная кривая частного решения должна проходить через точку  (x0,y0) и иметь заданные производные в этой точке, равные указанным значениям.  Условия  (1.2)  называются  начальными  данными.  
В общем случае не всякое решение получается из общего при конкретных (числовых) значениях констант. Решение, которое не содержится в общем решении ни при каких  числовых значениях констант, называется особым решением.
При решении дифференциальных уравнений следует иметь в виду, что существуют типы уравнений, для которых известны шаблонные методы решения.
Целью курсовой работы является рассмотрение метода решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции Грина.
Задачами курсовой работы является:
-
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.